Resumo

Um conjunto parcialmente ordenado finito $X=\{x_1,\ldots,x_n\}$ sempre pode ter os elementos reetiquetados de modo que $x_i\leq x_j$ em $X$ implique $i\leq j$ com a ordem usual dos números naturais. Feita essa reetiquetagem (se necessária), a álgebra de incidência $I(X,K)$ de $X$ sobre um corpo $K$ pode ser realizada como a subálgebra da $K$-álgebra de matrizes triangulares superiores $UT_n$ formada por todas as matrizes tais que a entrada $(i,j)$ é nula em  todos os elementos de $I(X,K)$ se $x_i\not\leq x_j$ em $X$. Essa álgebra possui propriedades combinatórias interessantes e constitui também uma importante generalização da álgebra de matrizes triangulares superiores.

Dada uma álgebra associativa $A$ sobre um corpo $K$, definindo a multiplicação $[\cdot,\cdot]$ a partir da multiplicação original de $A$ por $[a,b]=ab-ba$, temos que, trocando a multiplicação original da álgebra por essa, $A$, agora denotada por $A^{(-)}$, torna-se uma álgebra de Lie. O estudo dos automorfismos de uma álgebra é muito importante pois automorfismos constituem simetrias da álgebra. Como a multiplicação de $A^{(-)}$ é definida a partir da multiplicação de $A$, é claro que todo automorfismo de $A$, também é automorfismo (de Lie) de $A^{(-)}$, no entanto, em geral, a recíproca não é verdadeira. Por exemplo, se $A$ admite um antiautomorfismo $\lambda$, temos que $-\lambda$ também é automorfismo de $A^{(-)}$, embora não seja automorfismo de $A$.

Nessa apresentação caracterizaremos o grupo de automorfismos de $I(X,K)^{(-)}$  que permite decompor cada automorfismo dessa álgebra na composição de um automorfismo interno por um automorfismo elementar, sendo este último tipo de automorfismo definido ao longo da apresentação. Propriedades de automorfismos elementares também serão apresentadas.

Esse é um trabalho conjunto com Mykola Khripchenko (UFSC) e Érica Z. Fornaroli (UEM).